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期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN 15-1362/G4
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我刊投稿论文
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2020-12-18 | 所属栏目:我刊投稿论文 | 阅读次数:

  【课题项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》(立项批准号:FJJKXB18-353)的研究成果之一。
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2020)44-0013-02
  笔者就近几年高考考查方向及2019年的部分试题分析数学核心素养下,解析几何的考查方向,并对此提出教学思考与建议。
  1.试题分析
  表1 2017~2019年高考数学全国卷(理)解析几何考查内容
  在近几年高考中,从考查内容上看,解析几何基本题型分布为两小一大,覆盖三种常见的圆锥曲线,解答题以椭圆与抛物线为主。从考查难度身上看,基本属于中难题,主要考查定点定值,最值等问题。
  2.真题再现
  2.1选填问题
  例1(2019全国I卷10)已知椭圆C的焦点为F1(-1, 0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A、B两点,若AF2=2F2B,AB=BF1,则C的方程为_____。
  解析:设AF2=2F2B=2m,则AB=BF1=3m
  因为A、B位于椭圆上,因此有2a=AF1+AF2=BF1+BF2=4m
  可得AF1=2m,又AF2=2m,由对称性可知A位于上顶点。
  在△AF1F2中:
  小结:解析几何选填题在高考中的考查对于数学运算素养的要求较低。更多的是对于直观想象素养的考查。主要有以下几个方面:(1)能够根据题目画出正确的示意图;(2)掌握圆锥曲线的定义,能够利用定义转化点在曲线上的条件;(3)能够结合平面几何知识,发现几何图形中的几何关系。常见的几何模型为焦点三角形,双曲线渐近线,抛物线准线与焦点弦以及相关垂线段构成的直角梯形等,而后利用解三角形的有关知识或者中线、角平分线等平面几何知识解题。
  2.2解答题
  例3(2019全国III卷21)已知曲线C:y=,,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,证明:直线AB过定点。
  解法一:
  分析:(作图方法)根据题目描述进行画图:①在y=-上取点D;②过D做切线,获得切点A,B;③连接AB发现定点。
  (以数解形)将作图过程用代数进行描述:①设点Dd,-;②设切点,求出切点(这边切点难求,借助韦达定理);③由A,B得直线AB的方程。
  解法二:
  分析:(作图方法)重新构图:①画出直线AB与抛物线相交;②过A,B做抛物线切线;③切线交点在y=-上。
  (以数解形)将作图过程用代数进行描述:①设直线AB与抛物线联立得到A,B坐标(方程难解,借助韦达定理);②由切点,求出切线方程;③切线方程联立,解得纵坐标为-。
  小结:解析几何解答题在高考中对于数学运算素养与直观想象素养的考查都较难。对于直观想象素养的考查有以下几个方面:(1)能够根据题目画出正确的示意图;(2)能够利用平面几何知识化简题目中的条件与几何量,简化运算;(3)能够利用代数方法刻画几何中的元素。对于数学运算的考查在于以下几个方面:(1)能够把平面中的位置关系转化为运算问题,例如垂直,可以用向量点乘,可以转化为斜率乘积等;(2)解析几何中对于问题的解决有较多的思路,要求能够针对题目中的条件合理选择运算方法,设计运算程序,解决问题;(3)在方程的运算中,除了直接求根以外,要求能够根据方程特征,利用韦达定理解决问题,包括得到两根关系,或是知道一根求另一根。
  3.教学思考与策略
  3.1直观想象素养的培养
  (1)能够利用图形描述、分析数学问题。高考在考查解析几何时,往往不给几何图形,要求学生能够独立作图,在平时教学中应重视作图能力的培养。首先,教师应当发挥示范作用,在做解析几何题目时,引导学生一起读题,并在黑板上根据题目条件呈现作图过程,指导学生进行作图;其次,尝试构图时,不一定每次都能准确画出题目图形,经过适当的分析后往往需要对图形进行调整。因此讲解分析部分题目时,不应当直接给出准确图形,而应当展示图形的调整过程,引导学生进行分析思考。最后,为保证学生作图的准确性,在初学阶段要求学生利用尺规作图,避免学生因为作图随意而影响后续对图形的观察。学生能够熟练作图后再进行徒手作图的指导,提高作图速度。
  (2)建立數与形的联系,探索解决问题的思路。在解析几何解答题中,需要将几何问题代数化,其方法和角度是多种多样的。在教学中,应当引导学生积累常见的数与形的转化,例如:直角条件的转化,可以转化成点在圆上,点到斜边中点的距离等于斜边的一半,斜率之积为-1,向量点乘为0等等。积累并加以适当的总结,拓展学生从几何到代数转化的路径。同时教学中要引导学生尝试根据不同的顺序进行作图,通过多角度构图的方式,加深对图形结构的理解;讲解时,逐步讲解作图顺序,体现其形与数的转化过程,构造解题思路。让学生体会解析几何的解题思路,来自于对于图形的转化。
  3.2数学运算素养的培养
  (1)对于运算法则与运算顺序的指导。小学的算术及初中的多项式运算已经教授了数学运算的有关知识点。在此基础上,对于数学运算素养的培养,高中不单单是对法则的强调,更多是对细节的指导。例如在椭圆+=1与直线y=kx+1联立时,由于分式运算较为复杂容易出错,教师指导其先进行通分,利用方程x2+2y2=4进行运算;再例如对于向量点乘的结果x1x2+(y1-2)(y2-2)是先进行括号展开,还是先将直线方程代入消元,还是先代入韦达定理等等,这些细节问题都是导致学生运算速度慢,运算容易出错的原因。因此教师在解析几何教学中,应当重视对解析几何的运算讲解,多进行板书的展示与运算方法选择的提问。


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