课程教育研究 课程教育研究杂志简介 课程教育研究杂志学术期刊 课程教育研究杂志公告 课程教育研究期刊目录 课程教育研究投稿须知 课程教育研究编号查询 课程教育研究征稿启事
微信扫码 手机上阅读
重视定义提高数学核心素养
课程教育研究杂志

主管:内蒙古自治区文化厅
     中国外语学习学研究会
主办:内蒙古自治区北方文化研究院
投稿邮箱:tougao@kcjyyj.com
网  址:http://www.kcjyyj.com
数据库收录:中国知网全文收录
我刊入选第二批学术期刊名单
期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN 15-1362/G4
邮发代号:16-129

我刊投稿论文
当前位置:网站首页 > 我刊投稿论文 >
2019-11-08 | 所属栏目:我刊投稿论文 | 阅读次数:

作者:袁英
  【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)30-0110-02
  2018年全国Ⅱ卷理科数学第19题是:设抛物线C:y2=4x的焦点F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A、B两点,|AB|=8。(1)求直线l的方程;(2)求过A、B且与C的准线相切的圆的方程。
  解析几何题从20题的位置调到19题的位置,难度降了,但从学生高考得分情况看,这道题得分率却没有想象的高,究其原因,这道题所考查的数据分析、数学建模、数学抽象、数学运算、直观想象及逻辑推理等数学核心素养全面,新颖别致,且内涵丰富,是一道独具匠心、难得的好题,对我们的教学和复习工作可以起到良好的导向作用,尤其是对学生全方位培养和数学核心素养的渗透两方面教学上的实践,会让师生都有所收获,值得认真的研究和探讨。
  一、习题背景
  这道题的第1问源自选修2-1第2章第4节“抛物线”一节2.4.2例4,是例4的逆命题。作者出题的意图是为了巩固、加深理解抛物线定义的作用,即点点距与点线距的相互转化,让学生体会弦长公式的一类化简问题,即求过焦点的弦长问题。
  这道题第2问源自必修2第4章“圆与方程”章末复习参考题B组第1题。两个问题都可以从代数和几何两个角度深入思考求曲线方程问题,是从通性通法上考查了求曲线方程的待定系数法的步骤,如何列出简便易于计算的方程是求解的关键。
  二、教学实践
  这道题考查了求曲线方程问题,将直线、圆、圆锥曲线巧妙的融合在一起,检测了学生的数学核心素养,通过重新组合与有机渗透,体现了高考题源于教材的基础上适度创新、稳中求变的特点。教学设计中主体在引导学生勤于思考,增加学生活动经验上面,用学生的想法指导学生,帮助学生选择方法,在强化每一种方法需要注意的细节上下功夫,,在体现“四基”、“四能”夯实基础上下功夫,体现了面向全体同学,追求最优化目标的理念。
  教学过程:
  首先师生共同看题,师生一同朗读,共同分析。
  教师:看到y2=4x能想到什么?
  同学们会想到抛物线的几何量和图形,由步骤,准确画出图形。
  教师引导学生共同来解决第1个问题。第1个问题要求直线的方程,所求直线经过焦点F,交抛物线得|AB|=8,同学们思考用什么形式的方程来表示直线?在这里未知数是斜率k,我们怎么求出这个未知数?我们可以想到要找到未知数k的等量关系。
  教师追问:题目中有这个等式吗?同学们会想到|AB|=8,怎么用这个长度列出未知数k的等式?
  有的说:|AB|=|AF|+|BF|,教师追问:为什么这么想?
  同学回答:因为已知抛物线的定义,设A(x1,y1)、B(x2,y2)(学生回答,教师板书)
  ∴x1+x2=6,再由待定系数法,联立直线和抛物线方程,求出直线方程。
  这个过程中教师引导学生注意两个问题:一是k>0这个条件,如果审题不细,没有关注到这个条件,学生会得出l的两个方程,产生增根。另外这也是使用韦达定理之前必须要有的推理过程,只有先确定联立后关于x的方程的类型,即确定二次项系数不为0,然后通过判别式判断方程有两实根,最后才能用韦达定理,即便是这道题之前同学们推导过抛物线内一点与对称轴不平行且不重合的直线一定交于两点,在这里△>0这一推理过程也不能省略,可以略去求判别式的具体表达式的步骤。二是求k的式子不同,有的直接化成整式;也有可能先通分后,再化成整式;还有的会使用换元后,再计算。通过对照,同学们能体会到,这都是要达到简化运算的目的,提高了学生在运算中化简的意识。
  为了达到巩固和加深理解应用定义的意识,教师与同学们分享其他同学的列式想法。
  有的用两点间距离公式表示弦长。
  教师肯定同学的做法:这是求弦长最基本的想法,也是圆锥曲线求弦长最一般的方法。教师指出“在表示弦长的时候这种想法可以用最后两个表达式之一表示就可以,用两点间距离公式推导的过程可以省略”。教师引导学生分析这两种列式的异同,同学们会想到:这两种想法都能列式求出斜率k的值,不过使用弦长的一般公式要求出韦达定理的两个式子,还有开方和平方运算;板书的想法只需求出韦达定理的一个表达式就可以了,运算量减小了。教师指出同学们要注意使用弦长公式时要看已知条件。“只有题中已知弦所在的直线经过焦点时,才能用这种化简的弦长公式列式,如果已知弦所在的直线不过焦点,就必须用一般的弦长公式进行列式”。
  思路快的会提出用直线的倾斜角来表示AB长,教师先肯定这种解法求解快,同时引导学生根据同学们求解时不同的处理办法进行比较。
  经过比较,同学们看出第一种做法中,由角的正弦值求角,缺少限制条件,会失分,第二种方法不需要考虑限制条件的影响,同学们体会到在运算中需要提高整体代入设而不求的意识,避免增加运算步骤,没有考虑限制条件而失分。
  在这里老师强调:一是这种方法建议同学们在选择填空题中使用。二是请同学们课后思考,如果已知抛物线焦点在y轴上,那么经过焦点的弦长公式变形式会是什么样的?希望同学们在推导公式的过程中,加深理解和记忆。
  针对这一过程,同学们会提出,这里的四边形AA1B1B一定是直角梯形吗?不能是矩形吗?通过讨论,同学们确定所求的四边形AA1B1B一定是直角梯形。教师指出:在研究与抛物线焦点弦有关弦长问题时几何法是经常用到的方法。同學们意识到在用几何法研究问题时应培养自己有先定位、定形、再定量计算的良好思维习惯。
  教师导课:第一问我们求的是直线方程,只需求一个未知数k,列方程解出来,这个过程称作待定系数法;第二问我们要求圆的方程,也要用待定系数法,这里需要待定的系数是圆心坐标和半径3个未知数,需要寻求3个方程,如何列出简便利与运算的方程是求解的关键。
  比较中,同学们意识到,无论哪一种方法,最后都能解决问题。同学们明白一个道理:很多时候,同学们思考得多,对题深入理解,对圆锥曲线定义的深入理解,反应在计算上,算的就会少;如果想得少,那相对来说就要多算了。
  三、教学启示
  1.关注知识间的相互联系。初中我们学了函数的定义,研究了基本函数,到高中又一般的定义了函数,曲线一章的学习是函数知识的推广和加深,探讨研究一般曲线的过程,让学生体会用代数的方法研究几何问题,检测学生的运算能力。
  2.关注数学核心素养的考查。习题教学中应注重条件分析和需求结论的探究,恰当的建模,严谨的推理,从数和形方面深入思考所求问题,恰当的分类讨论,可以针对不同情况,各个击破,分而解决,全面思考问题,既能化难为易,又使条理清晰。要在全面提高学生的数学素养上下功夫,通过典型例题,多角度思考,多方位讨论,去梳理基础知识,训练思想方法,强化解题技能,这是帮助同学们全面提高数学素质的有效途径,应该引起我们足够重视。
  3.关注“四基”、“四能”夯实基础。高考题涉及的知识点十分丰富,有直线、圆、抛物线的定义及其位置关系等,只有熟练的把握住上述各个知识点,解答本题才能有章可循、得心应手。教学中设计有效问题情境,引导学生勤于思考,增加学生的活动经验,发现问题、提出问题、分析问题的过程中用学生的想法指导学生,帮助学生选择方法,在每一种方法需要解决的问题上下功夫,有利于培养学生思维发展的广阔性,提倡批判性和创新性。
  作者简介:
  袁英(1972-),女,河北抚宁人,牡丹江市第一高级中学教师,本科,理学学士,中学高级职称,市名优工程“研究型教师”,市数学学科带头人,主要从事中学数学教学研究。


版权所有:课程教育研究杂志 网站地图 最近更新
投稿邮箱:tougao@kcjyyj.com
中国知网全文收录,第二批学术期刊。欢迎投稿!
国际标准刊号:ISSN2095-3089,国内统一刊号CN15-1362/G4