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浅谈三角函数专题复习策略
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期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
国内统一刊号 CN 15-1362/G4
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我刊投稿论文
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2019-07-19 | 所属栏目:我刊投稿论文 | 阅读次数:

作者:李忠正
  【摘要】三角函數是高中数学重点教学内容之一,也是高考热点之一。近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图像与性质的考查。在复习时充分渗透数形结合的思想,把图像与性质结合起来,继续加强对三角函数的图像,性质及其应用的考查,降低对三角变换的要求,将会事半功倍。
  【关键词】三角函数 复习 策略
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)26-0137-01
  三角函数是高中数学重点教学内容之一,也是高考热点之一。从近几年的高考试卷可以看到,继续加强对三角函数的图像,性质及其应用的考查,降低对三角变换的要求,题型稳定,题量适中,以一小或两小(选择题或填空题)一大(解答题)为宜,三角函数从考查的内容看,主要有:
  一、熟记公式;灵活运用公式
  ①同角三角函数关系式揭示的是角α的不同三角函数值之间的关系。要注意公式的正确使用,在利用同角公式中的平方关系并要开方时,要根据角的范围来确定符号,常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时,要细心求角的范围。
  ②诱导公式的本质是揭示 ±α(k∈Z)与角α之间的三角函数关系。求任意角的三角函数值时,可以利用诱导公式达到“负角正化,大角小化,钝角锐化”的化简目的。主要看k的取值,即我们通常说的“奇变偶不变,符号看象限”。
  ③两角和与差的三角函数公式的本质是揭示同名不同角的三角函数的运算规律,常用于解决求值、化简和证明题。公式使用过程中要注意观察差异,寻找联系,实现转化,要熟悉公式的正用、逆用和变形使用,要注意公式成立的条件。
  三角函数公式多,变换的形式和方法多,如何确定正确的变形方法和方向是解题的关键。重视异化同向的思想进行思路分析和探索,寻找题目中条件与目标、各个部分在结构、函数名称、角的形式、次数等方面的差异,然后探寻消除差异的途径,实现结构同化。利用角之间的倍半和差等关系进行变角,将条件角化为目标角、将目标角用条件角表示、降次与升次、切化弦、常值代换等,都是这种思想方法的体现。
  二、熟练掌握三角函数的性质、图像
  1.三角函数的定义域
  求定义域实质上是解简单的三角不等式(组)。要考虑到分母不为零,偶次根式被开方数不小于零,对数的真数大于零、底数大于零且不等于1,同时还要考虑到函数本身的定义域。可用三角函数图像或三角函数线解不等式(组)。
  2.三角函数的值域
  求三角函数的值域是常见题型.y=asinx+bcosx型,这要变形成y= sin(x+φ),然后再根据自变量的取值范围求出函数的值域。
  3.三角函数的性质
  (1)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调性的确定,基本方法是将ωx+φ看作整体,如求增区间可由2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈z)解出x的范围。若x的系数为负数,通常先通过诱导公式把x的系数变成正数再进行求解。
  (2)利用单调性比较函数值的大小,往往先利用对称性或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数。重视三角函数性质的灵活应用,如周期性的应用:已知f(n)=sin( + ),(n=1,2,3…),求f(1)+f(2)+…+f(100)。可以先研究f(n)的周期性:周期是4,故f(1)+f(2)+…+f(100)共有25个周期,而每个周期的和f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,,所以f(1)+f(2)+…+f(100)=0。
  4.三角函数的图像
  用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)图时,将ωx+φ看作整体,取0, ,π, ,2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。y=Asin(ωx+φ)+B(A≠0,ω>0)中,A,B,ω及φ对正弦曲线y=sinx的图像变换是对自变量而言的。
  在这部分复习时,最好的方法是让学生自己画出函数图像,亲自感受一下图像之间区别和联系,例如:让学生依次做出一组y=sinx,y=sin(x+ ),y=sin(2x+ )函数的图像;再做出另一组y=sinx,y=sin2x,y=sin(2x+ )函数的图像。使学生真正感受到图像之间的变换过程,认识到先平移再伸缩和先伸缩再平移的区别。
  三、关注三角形中的三角变换
  设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C.
  (1)角与角关系:A+B+C=π,结合诱导公式可减少角的个数。如sin(A+B)=sinC;tan(A+B)=-tanC;cos =sin ;(2)边与边关系:a+b>c,b+c>a, a+c>b;(3)边与角关系 = = =2R(S= absinC= bcsinA= acsinB)正弦定理,余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.
  总之,在复习时要充分渗透数形结合的思想,把图像与性质结合起来,及时让学生进行反思、一题多解,则知识间的联系更为清晰,掌握的数学思想方法更为完善,日积月累,学生的水平与能力就会逐步得到提高,最终将会事半功倍。


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