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级数收敛性的判别法
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期刊类别:纯教育、G4
国际标准刊号 ISSN 2095-3089
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2019-07-19 | 所属栏目:我刊投稿论文 | 阅读次数:

作者:陈飞翔
  【摘要】本文主要給出了数学分析中级数收敛性的判别法,并且说明了这些方法的不同之处。
  【关键词】级数 正项级数 交错级数
  【中图分类号】O151.21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)26-0139-01
  在数学分析学习中,对于级数收敛性的判别法,数学家们提出了比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔法等来解决级数收敛性问题,本文给出几个常见的级数收敛的判别方法。
  1.几个基本概念和基本定理
  设有数列{un},即
  u1,u2,u3…,…,un… (1)
  将数列(1)的项依次用加号连接起来,即
  u1+u2+u3…+un+… 或 un, (2)
  称为数项级数,简称级数,其中un称为级数(2)的第n项或通项。
  定理1.1 正项级数 un收敛?圳它的部分和数列{Sn}有上界。
  定理1.2(比较判别法)有两个正项级数 un与 vn,且?埚N∈N+,?坌n≥N,有un≤cvn,c是正常数。
  (1)若级数 vn收敛,则级数 un也收敛;
  (2)若级数 un发散,则级数 vn也发散。
  证明:根据收敛级数的性质,去掉、增添或改变级数 un的有限性,不改变级数 un的敛散性。因此,,不妨设?坌n∈N+,有un≤cvn。
  设级数 un与 vn的n项部分和分别是A与B,由上述不等式,有
  An=u1+u2+…+un≤cv1+cv2+…+cvn=c(v1+v2+…+vn)=cBn.
  (1)若级数 vn收敛,根据定理1.1有,数列{Bn}有上界,从而数列{An}也有上界,级数 un收敛。
  (2)若级数 un发散,根据定理1.1有,数列{An}无上界,从而数列{Bn}也无上界,级数 vn发散。
  2.交错级数判别法
  下面将对交错级数收敛性的判别法同样进行叙述。若级数 un既有无限多项正数,又有无限多项负数,则称此级数 un是变号级数。特别地,级数的项依次是正数和负数相间,即
  u1-u2+u3-u4+…+u2k-1-u2k+… (un>0),
  称为交错级数. 判别交错级数的收敛性有以下判别法:
  定理2.1 (莱布尼兹判别法)有交错级数 (-1)n-1un(un>0). 若
  (1)?坌n∈N+,有un≥un+1;(2) un=0.
  则交错级数 (-1)n-1un收敛,且|rn|=|S-Sn|0,?坌n∈N+,有
  |Bn|=|b1+b2+…+bn|≤M. 则级数 anbn收敛。
  对于交错级数收敛性来说,除了上面叙述的这两种方法,还有阿贝尔判法。
  定理2.3 (阿贝尔判别法) 若级数 anbn满足下列条件:
  (1)数列{an}有界; (2)级数 bn收敛,则级数 anbn收敛。
  参考文献:
  [1]刘玉琏.数学分析讲义[M].5版.北京:高等教育出版社.2008.


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